什么是抽屉原理的公式|什么是抽屉原理

来源:安全生产总结 日期:2020-10-11 浏览:

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什么是抽屉原理

  学习总结一:

  什么是抽屉原理?

  (1)举例

  桌上有十个苹果,要把这十个苹果放到九个抽屉里,无论怎样放,有的抽屉能够放一个,有的能够放两个,有的能够放五个,但最终我们会发现至少我们能够找到一个抽屉里面至少放两个苹果。

  (2)定义

  一般状况下,把n+1或多于n+1个苹果放到n个抽屉里,其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。

  学习总结二:

  抽屉原理是什么

  桌上有十个苹果,要把这十个苹果放到九个抽屉里,无论怎样放,我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果。这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。抽屉原理的一般含义为:“如果每个抽屉代表一个集合,每一个苹果就能够代表一个元素,假如有n+1个元素放到n个集合中去,其中必定有一个集合里至少有两个元素。”抽屉原理有时也被称为鸽巢原理。它是组合数学中一个重要的原理。

  第一抽屉原理

  原理1:把多于n个的物体放到n个抽屉里,则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。

  证明(反证法):如果每个抽屉至多只能放进一个物体,那么物体的总数至多是n×1,而不是题设的n+k(k≥1),故不可能。

  原理2:把多于mn(m乘以n)(n不为0)个的物体放到n个抽屉里,则至少有一个抽屉里有不少于(m+1)的物体。

  证明(反证法):若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符,故不可能。

  原理3:把无穷多件物体放入n个抽屉,则至少有一个抽屉里有无穷个物体。

  原理1、2、3都是第一抽屉原理的表述。

  第二抽屉原理

  把(mn-1)个物体放入n个抽屉中,其中必有一个抽屉中至多有(m—1)个物体(例如,将3×5-1=14个物体放入5个抽屉中,则必定有一个抽屉中的物体数少于等于3-1=2)。

  在上方的第一个结论中,由于一年最多有366天,因此在367人中至少有2人出生在同月同日。这相当于把367个东西放入366个抽屉,至少有2个东西在同一抽屉里。在第二个结论中,不妨想象将5双手套分别编号,即号码为1,2,。。。,5的手套各有两只,同号的两只是一双。任取6只手套,它们的编号至多有5种,因此其中至少有两只的号码相同。这相当于把6个东西放入5个抽屉,至少有2个东西在同一抽屉里。

  抽屉原理的一种更一般的表述为:

  “把多于kn+1个东西任意分放进n个空抽屉(k是正整数),那么必须有一个抽屉中放进了至少k+1个东西。”

  利用上述原理容易证明:“任意7个整数中,至少有3个数的两两之差是3的倍数。”正因任一整数除以3时余数只有0、1、2三种可能,因此7个整数中至少有3个数除以3所得余数相同,即它们两两之差是3的倍数。

  如果问题所讨论的对象有无限多个,抽屉原理还有另一种表述:

  “把无限多个东西任意分放进n个空抽屉(n是自然数),那么必须有一个抽屉中放进了无限多个东西。”

  学习总结三:

  抽屉原理

  知识要点

  抽屉原理又称鸽巢原理,它是组合数学的一个基本原理,最先是由德国数学家狭利克雷明确地提出来的,因此,也称为狭利克雷原理。

  把3个苹果放进2个抽屉里,必须有一个抽屉里放了2个或2个以上的苹果。这个人所皆知的常识就是抽屉原理在日常生活中的体现。用它能够解决一些相当复杂甚至无从下手的问题。

  原理1:把n+1个元素分成n类,不管怎样分,则必须有一类中有2个或2个以上的元素。

  原理2:把m个元素任意放入n(n<m=个集合,则必须有一个集合呈至少要有k个元素。

  其中k=(当n能整除m时)

  〔〕+1(当n不能整除m时)

  (〔〕表示不大于的最大整数,即的整数部分)

  原理3:把无穷多个元素放入有限个集合里,则必须有一个集合里内含无穷多个元素。

  应用抽屉原明白题的步骤

  第一步:分析题意。分清什么是"东西",什么是"抽屉",也就是什么作"东西",什么可作"抽屉"。

  第二步:制造抽屉。这个是关键的一步,这一步就是如何设计抽屉。根据题目条件和结论,结合有关的数学知识,抓住最基本的数量关联,设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数,为使用抽屉铺平道路。

  第三步:运用抽屉原理。观察题设条件,结合第二步,恰当应用各个原则或综合运用几个原则,以求问题之解决。

  例1、教室里有5名学生正在做作业,这天只有数学、英语、语文、地理四科作业

  求证:这5名学生中,至少有两个人在做同一科作业。

  证明:将5名学生看作5个苹果

  将数学、英语、语文、地理作业各看成一个抽屉,共4个抽屉

  由抽屉原理1,必须存在一个抽屉,在这个抽屉里至少有2个苹果。

  即至少有两名学生在做同一科的作业。

  例2、木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个,若蒙眼去摸,为保证取出的球中有两个球的颜色相同,则最少要取出多少个球?

  解:把3种颜色看作3个抽屉

  若要贴合题意,则小球的数目务必大于3

  大于3的最小数字是4

  故至少取出4个小球才能贴合要求

  答:最少要取出4个球。

  例3、班上有50名学生,将书分给大家,至少要拿多少本,才能保证至少有一个学生能得到两本或两本以上的书。

  解:把50名学生看作50个抽屉,把书看成苹果

  根据原理1,书的数目要比学生的人数多

  即书至少需要50+1=51本

  答:最少需要51本。

  例4、在一条长100米的小路一旁植树101棵,不管怎样种,总有两棵树的距离不超过1米。

  解:把这条小路分成每段1米长,共100段

  每段看作是一个抽屉,共100个抽屉,把101棵树看作是101个苹果

  于是101个苹果放入100个抽屉中,至少有一个抽屉中有两个苹果

  即至少有一段有两棵或两棵以上的树

  例5、11名学生到老师家借书,老师是书房中有A、B、C、D四类书,每名学生最多可借两本不一样类的书,最少借一本

  试证明:必有两个学生所借的书的类型相同

  证明:若学生只借一本书,则不一样的类型有A、B、C、D四种

  若学生借两本不一样类型的书,则不一样的类型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六种

  共有10种类型

  把这10种类型看作10个"抽屉"

  把11个学生看作11个"苹果"

  如果谁借哪种类型的书,就进入哪个抽屉

  由抽屉原理,至少有两个学生,他们所借的书的类型相同

  例6、有50名户外员进行某个项目的单循环赛,如果没有平局,也没有全胜

  试证明:必须有两个户外员积分相同

  证明:设每胜一局得一分

  由于没有平局,也没有全胜,则得分状况只有1、2、3。。。。。。49,只有49种可能

  以这49种可能得分的状况为49个抽屉

  现有50名户外员得分

  则必须有两名户外员得分相同

  例7、体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球,某班50名同学来仓库拿球,规定每个人至少拿1个球,至多拿2个球,问至少有几名同学所拿的球种类是一致的?

  解题关键:利用抽屉原理2。

  解:根据规定,多有同学拿球的配组方式共有以下9种:

  {足}{排}{蓝}{足足}{排排}{蓝蓝}{足排}{足蓝}{排蓝}

  以这9种配组方式制造9个抽屉

  将这50个同学看作苹果

  =5。5。。。。。。5

  由抽屉原理2k=〔〕+1可得,至少有6人,他们所拿的球类是完全一致的

抽屉原理的三个公式 抽屉原理视频

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